Пример 3

$$x(t)=\frac{1}{\sin(t)},\;\;$$$$y(t)=\frac{1}{\sin(2t)}.$$

1. Так как функ­ции $$x(t)$$ и $$y(t)$$ пе­ри­о­ди­че­ски­е с об­щим пе­ри­о­дом $$2\pi$$, то гра­фик бу­дет пол­но­стью от­ри­со­ван, ес­ли па­ра­метр прой­дет про­ме­жу­ток дли­ной $$2\pi$$. По­это­му до­ста­точ­но по­стро­ить кри­ву­ю для лю­бо­го про­ме­жут­ка дли­ной $$2\pi$$. Возь­мём, на­при­мер, $$t$$ от $$-\pi$$ до $$\pi$$.
2. Опре­де­лим, об­ла­да­ет ли кри­вая сим­мет­ри­ей.
2.1. По­сколь­ку $$x(t)$$ и $$y(t)$$ – не­чёт­ные функ­ции, кри­вая бу­дет об­ла­дать цен­траль­ной сим­мет­ри­ей от­но­си­тель­но точ­ки $$(0,0)$$.
2.2. Рас­смот­рим зна­че­ние па­ра­мет­ра $$t_{0}=\frac{\pi}{2}$$. По­ка­жем, что для не­го вы­пол­ня­ет­ся ус­ло­вие сим­мет­рии от­но­си­тель­но пря­мой $$y=y_{0}=0$$:

$$\forall t \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right):$$

$$x(t_{0}+t)=$$ $$\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)}=$$ $$\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}=$$ $$x(t_{0}-t),$$

$$y_{0}-y(t_{0}+t)=$$ $$0-\frac{1}{\sin(\pi+2t)}=$$ $$\frac{1}{\sin(\pi-2t)}=$$ $$-\left(0-\frac{1}{\sin(\pi-2t)}\right)=$$ $$-(y_{0}-y(t_{0}-t)).$$

3. На­ри­су­ем сна­ча­ла часть гра­фи­ка для $$t$$ от $$-\pi$$ до $$-\frac{\pi}{2}$$. По­том ото­бра­зим его от­но­си­тель­но пря­мой $$y=0$$. Ос­тав­ша­я­ся часть кри­вой по­лу­ча­ет­ся ото­бра­же­ни­ем от­но­си­тель­но точ­ки $$(0,0)$$ уже по­стро­ен­но­го.
 По­это­му до­ста­точ­но про­ана­ли­зи­ро­вать, ка­ка­я по­лу­ча­ет­ся кри­ва­я, ес­ли огра­ни­чить из­ме­не­ние па­ра­мет­ра про­из­воль­ным про­ме­жут­ком дли­ной $$2\pi$$.

Показать симметрию относительно прямой$$\;y=0$$

$$t$$

$$-\pi$$ $$-\frac{3\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$
$$t$$ $$-\pi$$ $$\left(-\pi,-\frac{3\pi}{4}\right)$$ $$-\frac{3\pi}{4}$$ $$\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)$$ $$-\frac{\pi}{2}$$
$$x$$ $$+\infty$$ $$-\frac{2}{\sqrt{2}}$$ $$1$$
$$y$$ $$+\infty$$ $$1$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$
$$y_{x}^{'}$$ ↘ $$0$$ ↗
$$y_{xx}^{''}$$ $$\bigcup$$ $$\bigcup$$
Особые точки и уравнения асимптот Асимптота $$y=-\frac{1}{2}x$$ Вершина Асимптота $$x=-1$$
$$x(t)=\frac{1}{\sin(t)},\;\;$$$$y(t)=\frac{1}{\sin(2t)}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{\cos(2t)}{2\cos^{3}(t)}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{(\sin^{-1}(2t))_{t}^{'}}{(\sin^{-1}(t))_{t}^{'}}=$$ $$-\frac{2\cos(2t)}{\sin^{2}(2t)}:\left(-\frac{\cos(t)}{\sin^{2}(t)}\right)=$$ $$\frac{2\cos(2t)}{4\sin^{2}(t)\cos^{2}(t)}\cdot\frac{\sin^{2}(t)}{\cos(t)}=$$ $$\frac{\cos(2t)}{2\cos^{3}(t)}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{\sin^{3}(t)(3-2\cos^{2}(t))}{2\cos^{5}(t)}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{1}{2\cos^{6}(t)}\cdot$$ $$(-2\sin(2t)\cos^{3}(t)+$$ $$\cos(2t)3\cos^{2}(t)\sin(t)):$$ $$\left(-\frac{\cos(t)}{\sin^{2}(t)}\right)=$$ $$\frac{2\sin(2t)\cos(t)-3\cos(2t)\sin(t)}{2\cos^{4}(t)}\cdot$$ $$\frac{\sin^{2}(t)}{\cos(t)}=$$ $$\frac{\sin^{3}(t)(3-2\cos^{2}(t))}{2\cos^{5}(t)}$$
Асимптоты:
1)$$\:$$ $$y=-\frac{1}{2}x\:$$ при $$\:t\rightarrow -\pi$$
$$y=kx+b$$
$$k=\lim_{t\rightarrow \pi}\left(\frac{1}{\sin(2t)}:\frac{1}{\sin(t)}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow \pi}\left(\frac{1}{2\cos(t)}\right)=-\frac{1}{2}$$ $$b=\lim_{t\rightarrow \pi}\left(\frac{1}{\sin(2t)}+\frac{1}{2\sin(t)}\right)=$$ $$[z=\pi-t,\:t=\pi-z]=$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin(2\pi-2z)}+\frac{1}{2\sin(\pi-z)}\right)=$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{\sin(2z)}+\frac{1}{2\sin(z)}\right)\sim$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\right)=0$$
2)$$\:$$ $$x=-1\:$$ при $$\:t\rightarrow -\frac{\pi}{2}$$
За­ме­ча­ни­е. Ес­ли у­ве­ли­чить (у­мень­шить) ис­ход­ны­е $$x(t)$$ и $$y(t)$$ на кон­стан­ту, то сим­мет­ри­я со­хра­нит­ся, но со сме­ще­ни­ем на кон­стан­ту со­от­вет­ствен­но впра­во (вле­во) и вверх (вниз). В ка­че­стве при­ме­ра рас­смот­рим для $$t \in (-\pi,\pi)$$ сле­ду­ю­щую функ­ци­ю:

$$x(t)=\frac{1}{\sin(t)}+1.5,\;\;$$$$y(t)=\frac{1}{\sin(2t)}+2.$$

Докажем симметрию кривой относительно точки $$(x_{0},y_{0})=(1.5,2)$$ для $$t_{0}=0$$:

$$\forall t \in \left(0,\pi\right):$$

$$x_{0}-x(t_{0}+t)=$$ $$1.5-\left(\frac{1}{\sin(t)}+1.5\right)=$$ $$1.5-\left(-\frac{1}{\sin(-t)}+1.5\right)=$$ $$1.5+\left(\frac{1}{\sin(-t)}-1.5\right)=$$ $$-1.5+\left(\frac{1}{\sin(-t)}+1.5\right)=$$ $$-\left(1.5-\left(\frac{1}{\sin(-t)}+1.5\right)\right)=$$ $$-(x_{0}-x(t_{0}-t)),$$

$$y_{0}-y(t_{0}+t)=$$ $$2-\left(\frac{1}{\sin(2t)}+2\right)=$$ $$2-\left(-\frac{1}{\sin(-2t)}+2\right)=$$ $$2+\left(\frac{1}{\sin(-2t)}-2\right)=$$ $$-2+\left(\frac{1}{\sin(-2t)}+2\right)=$$ $$-\left(2-\left(\frac{1}{\sin(-2t)}+2\right)\right)=$$ $$-(y_{0}-y(t_{0}-t)).$$

Доказательство симметрии кривой относительно прямой $$y=2$$ аналогично предыдущему примеру.

Показать симметрию относительно прямой $$\;y=2$$

$$t$$

$$-\pi$$ $$-\frac{3\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{2}$$ $$0$$ $$\frac{\pi}{2}$$ $$\pi$$