Схема построения параметрически заданных плоских кривых

1. Найти общую часть областей определения функций $$x(t),\;y(t)$$.

2. Установить, обладает ли кривая симметрией (при наличии симметрии можно сократить выкладки, ограничив соответствующим образом иcследуемую часть кривой).

Достаточные условия симметрии кривой:

Симметрия относительно оси Ox: $$\forall t\in T\;\;x(t)=x(-t),\;\;y(t)=-y(-t)$$	Симметрия относительно точки (0,0): $$\forall t\in T\;\;x(t)=-x(-t),\;\;y(t)=-y(-t)$$
Симметрия относительно оси Oy: $$\forall t\in T\;\;x(t)=-x(-t),\;\;y(t)=y(-t)$$	Наложение ветвей графика: $$\forall t\in T\;\;x(t)=x(-t),\;\;y(t)=y(-t)$$
Симметрия относительно оси $$x=x_{0}=x(t_{0})$$: $$\forall t\in T\;\;x(t_{0})-x(t_{0}+t)=-(x(t_{0})-x(t_{0}-t)),$$ $$y(t_{0}+t)=y(t_{0}-t)$$	Симметрия относительно точки $$(x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))$$: $$\forall t\in T\;\;x(t_{0})-x(t_{0}+t)=-(x(t_{0})-x(t_{0}-t)),$$ $$y(t_{0})-y(t_{0}+t)=-(y(t_{0})-y(t_{0}-t))$$
Симметрия относительно оси $$y=y_{0}=y(t_{0})$$: $$\forall t\in T\;\;x(t_{0}+t)=x(t_{0}-t),$$ $$y(t_{0})-y(t_{0}+t)=-(y(t_{0})-y(t_{0}-t))$$	Наложение ветвей графика: $$\forall t\in T\;\;x(t_{0}+t)=x(t_{0}-t),$$ $$y(t_{0}+t)=y(t_{0}-t)$$

3. Определить, обладает ли данная кривая периодичностью.

Если для некоторого $$\;\tau$$
$$\forall t\in T\;\;x(t+\tau)=\;$$$$T_{x}+x(t),\;\;$$$$y(t+\tau)=y(t),\;$$ то функция $$\;y(x)\;$$ имеет период $$\;T_{x},$$
$$\forall t\in T\;\;x(t+\tau)=x(t),\;$$$$y(t+\tau)=T_{y}+y(t),\;$$ то функция $$\;x(y)\;$$ имеет период $$\;T_{y}.$$

4. Найти все значения параметра, в которых хотя бы одна из функций $$x(t),\;y(t)$$ бесконечна. Проверить наличие асимптот у графика функции $$y(x)$$.

Условия существования асимптот графика параметрически заданной функции $$y(x):$$
Если при $$t\to S\;\;x\to x_{0},\;\;$$ а$$\;\;$$ $$y\to \infty,\;$$ то $$x=x_{0}\;-\;$$ вертикальная асимптота кривой.
Если при $$t\to S\;\;x\to \infty,\;\;$$ а$$\;\;$$ $$y\to y_{0},\;$$ то $$\;y=y_{0}\;-\;$$ горизонтальная асимптота кривой.
Если при $$t\to S\;\;x\to \infty\;\;$$ и$$\;\;$$ $$y\to \infty,\;$$ то возможна наклонная асимптота кривой $$y=kx+b,\;\;k,b\in \mathbb{R},\;$$ где
$$k=\lim_{t\to S}\frac{y(t)}{x(t)},\;\;$$ $$b=\lim_{t\to S}(y(t)-kx(t)),\;\;$$ $$S=\{t_{n},\;t_{n}-0,\;t_{n}+0,\;$$$$\infty,\;-\infty,\;+\infty\}, \;\;$$$$t_{n}\in \mathbb{R}.$$

5. Найти все значения параметра, в которых хотя бы одна из производных $$x'(t),\;y'(t)$$ равна нулю или разрывна. Определить точки экстремума функции (вершины кривой).

Кривая имеет экстремум (вершину) в точке $$\left ( x(t_{k}),\;y(t_{k}) \right ),\;$$ если функции $$x=x(t),\;y=y(t)\;$$ непрерывны в точке $$t=t_{k}$$ и на промежутке $$\left ( t_{k-1},\;t_{k+1} \right )\;$$ одна из производных $$x'(t),\;y'(t)\;$$ сохраняет знак, а вторая меняет.

6. Найти все значения параметра, в которых $$f_{x}^{'}(t)=0.\;$$ Определить промежутки возрастания и убывания функции $$y=f(x).$$

Если на интервале $$\left ( t_{k},\;t_{k+1} \right )$$ производная $$f_{x}^{'}(t)$$ существует и положительна (отрицательна), то функция $$f(x)$$ на этом интервале возрастает (убывает).
Вычислить первую производную функции можно по формуле $$f_{x}^{'}(t)=\frac{y_{t}^{'}(t)}{x_{t}^{'}(t)}.$$

7. Найти все значения параметра, в которых $$f_{xx}^{''}(t)=0.\;$$ Определить направление выпуклости каждой ветви графика кривой.

Если на интервале $$\left ( t_{k},\;t_{k+1} \right )\:$$ производная $$f_{xx}^{''}(t)\:$$ существует и положительна (отрицательна), то функция $$f(x)\:$$ на этом интервале выпукла вниз (вверх).
Вычислить вторую производную функции можно по формуле $$f_{xx}^{''}(t)=\frac{\left ( f_{x}^{'}(t) \right )_{t}^{'}}{x_{t}^{'}(t)}.$$

8. Составить таблицу.

$$t$$

$$-\infty$$

$$(-\infty,\; t_{1})$$

$$t_{1}$$

$$(t_{1},\; t_{2})$$

$$t_{2}$$

$$\cdots $$

$$t_{p}$$

$$(t_{p},\; t_{p+1})$$

$$t_{p+1}$$

$$\cdots $$

$$t_{n}$$

$$(t_{n},\; +\infty)$$

$$+\infty$$

$$1$$

$$x$$

$$2$$

$$y$$

$$3$$

$$y_{x}'$$

$$4$$

$$y_{xx}''$$

$$5$$

Интервалы монотонности

$$6$$

Интервалы выпуклости

$$7$$

Особые точки графика и уравнения асимптот

Таблица строится только для тех значений параметра $$t,\;$$ для которых определены обе функции: $$x(t),\;y(t).$$
Для построения графика достаточно заполнить ячейки таблицы, выделенные белым цветом.
Ячейки таблицы, помеченные крестом, заполнять не нужно.
В первой строке таблицы чередуются значения параметра (найденные в пунктах 4-7) и интервалы, на которые разбивается всё множество $$$$ $$T\:$$ этими значениями. Значения параметра, найденные в пунктах 4 и 5, разбивают множество $$$$ $$T\:$$ на промежутки знакопостоянства производных $$x'(t),\;y'(t)$$, и, следовательно, система уравнений $$x=x(t),\;y=y(t)$$ на каждом интервале разбиения задаёт параметрически функцию $$y=f(x),\;$$ которая является одной из веток исходной кривой.

9. Определить характер особых точек кривой.

10. Найти нули функций $$x(t),\;y(t)$$ и их интервалы знакопостоянства.

11. Пользуясь таблицей и информацией из п.10, построить ветви кривой, соответствующие промежуткам $$\left ( t_{k},\;t_{k+1} \right )$$. Если была установлена симметрия или чётность, то дорисовать функцию на всю область определения соответствующим образом.