Пример

$$x(t)=\frac{t^{2}}{1+t^{3}},\;\;$$ $$y(t)=\frac{t^{3}}{1+t^{3}}=$$ $$1-\frac{1}{1+t^{3}}$$

$$t$$

Увеличенное построение

$$t$$ $$-\infty$$ $$(-\infty, -1)$$ $$-1$$ $$(-1, 0)$$ $$0$$ $$(0, \sqrt[3]{2})$$ $$\sqrt[3]{2}$$ $$(\sqrt[3]{2}, +\infty)$$ $$+\infty$$
$$x$$ $$-0$$ $$-\infty$$ $$+\infty$$ $$0$$ $$\frac{{\sqrt[3]{4}}}{3} \approx 0.53$$ $$+0$$
$$y$$ $$1+$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$0$$ $$\frac{2}{3} \approx 0.67$$ $$1-$$
$$y_{x}^{'}$$ ↘ ↘ $$0$$ ↗ $$\infty$$ ↘
$$y_{xx}^{''}$$ $$\bigcup$$ $$\bigcap$$ $$\bigcup$$ $$\bigcap$$
Особые точки и уравнения асимптот Выколотая точка $$y = -x + \frac{1}{3}$$ Точка возврата Вершина Выколотая точка
$$x(t)=\frac{t^{2}}{1+t^{3}}$$
$$y(t)=\frac{t^{3}}{1+t^{3}}=$$ $$1-\frac{1}{1+t^{3}}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{3t}{2-t^{3}}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{3t^{2}}{(1+t^{3})^{2}}:$$ $$\frac{2t(1+t^{3})-3t^{2}\cdot t^{2}}{(1+t^{3})^{2}}=$$ $$\frac{3t^{2}}{2t-t^{4}}=$$ $$\frac{3t}{2-t^{3}}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{6\cdot (1+t^{3})^{3}}{t\cdot (2-t^{3})^{3}}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{3\cdot (2-t^{3})+3t^{2}\cdot 3t}{(2-t^{3})^{2}}:$$ $$\frac{2t-t^{4}}{(1+t^{3})^{2}}=$$ $$\frac{(6+6t^{3})}{(2-t^{3})^{2}}\cdot \frac{(1+t^{3})^{2}}{t(2-t^{3})}=$$ $$\frac{6\cdot (1+t^{3})^{3}}{t\cdot (2-t^{3})^{3}}$$
Асимптоты: $$\:$$ $$y=-x+\frac{1}{3}$$
$$y=kx+b$$
$$k=\lim_{t\rightarrow -1}\left ( \frac{t^{3}}{1+t^{3}}:\frac{t^{2}}{1+t^{3}} \right )=$$ $$\lim_{t\rightarrow -1}t=-1$$
$$b=\lim_{t\rightarrow -1}\left ( \frac{t^{3}}{1+t^{3}}+\frac{t^{2}}{1+t^{3}} \right )=$$ $$\lim_{t\rightarrow -1}\left (\frac{t^{2}}{t^{2}-t+1} \right )=\frac{1}{3}$$