Пример 2

$$x(t)=\frac{t^{2}}{1-t},\;\;$$$$y(t)=\frac{t^{3}}{1-t^{2}}.$$

$$t$$

$$-\infty$$ $$-\sqrt{3}$$ $$-1$$ $$0$$ $$1$$ $$\sqrt{3}$$ $$2$$ $$\infty$$

Увеличенное построение

$$t$$ $$-\infty$$ $$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$$ $$-\sqrt{3}$$ $$\left(-\sqrt{3},-1\right)$$ $$-1$$ $$\left(-1,0\right)$$ $$0$$ $$\left(0,1\right)$$ $$1$$ $$\left(1,\sqrt{3}\right)$$ $$\sqrt{3}$$ $$\left(\sqrt{3},2\right)$$ $$2$$ $$\left(2,+\infty\right)$$ $$+\infty$$
$$x$$ $$+\infty$$ $$\approx 1.098$$ $$\frac{1}{2}$$ $$0$$ $$+\infty$$$$-\infty$$ $$\approx -4.098$$ $$-4$$ $$-\infty$$
$$y$$ $$+\infty$$ $$\approx 2.598$$ $$+\infty$$$$-\infty$$ $$0$$ $$+\infty$$$$-\infty$$ $$\approx -2.598$$ $$\approx -2.667$$ $$-\infty$$
$$y_{x}^{'}$$ ↗ $$0$$ ↘ $$\infty$$ ↘ $$0$$ ↗ ↗ $$0$$ ↘ $$\infty$$ ↗
$$y_{xx}^{''}$$ $$\bigcup$$ $$\bigcup$$ $$\bigcap$$ $$\bigcup$$ $$\bigcap$$ $$\bigcap$$ $$\bigcup$$
Особые точки и уравнения асимптот Асимптота $$y=x+1$$ Вершина Асимптота $$x=\frac{1}{2}$$ Точка возврата Асимптота $$y=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$$ Вершина Вершина Асимптота $$y=x+1$$
$$x(t)=\frac{t^{2}}{1-t},\;\;$$$$y(t)=\frac{t^{3}}{1-t^{2}}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{t(3-t^{2})}{(1+t)^{2}(2-t)}$$
$$y_{x}^{'}=\frac{3t^{2}(1-t^{2})+2t^{4}}{(1-t^{2})^{2}}:$$ $$\frac{2t(1-t)+t^{2}}{(1-t)^{2}}=$$ $$\frac{t^{2}(3-t^{2})}{(1-t^{2})^{2}}\cdot$$ $$\frac{(1-t)^{2}}{t(2-t)}=$$ $$\frac{t(3-t^{2})(1-t)^{2}}{(1-t)^{2}(1+t)^{2}(2-t)}=$$ $$\frac{t(3-t^{2})}{(1+t)^{2}(2-t)}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{6(1-t)^{3}}{t(1+t)^{3}(2-t)^{3}}$$
$$y_{xx}^{''}=\frac{6(1-t^{2})}{(1+t)^{4}(2-t)^{2}}:$$ $$\frac{t(2-t)}{(1-t)^{2}}=$$ $$\frac{6(1-t)}{(1+t)^{3}(2-t)^{2}}\cdot$$ $$\frac{(1-t)^2}{t(2-t)}=$$ $$\frac{6(1-t)^{3}}{t(1+t)^{3}(2-t)^{3}}$$
Асимптоты:
1)$$\:$$ $$y=x+1\:$$ при $$\:t\rightarrow \infty$$
$$y=kx+b$$
$$k=\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{t^{3}}{(1-t^{2})}: \frac{t^{2}}{(1-t)}\right)\sim$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{-t}{-t}\right)=1$$ $$b=\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{t^{3}}{1-t^{2}}-\frac{t^{2}}{1-t}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{t^{3}-t^{2}(1+t)}{1-t^{2}}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{-t^{2}}{1-t^{2}}\right)\sim$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}\left(\frac{-t^{2}}{-t^{2}}\right)=1$$
2)$$\:$$ $$x=\frac{1}{2}\:$$ при $$\:t\rightarrow -1$$
3)$$\:$$ $$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\:$$ при $$\:t\rightarrow 1$$
$$y=kx+b$$
$$k=\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{t^{3}}{(1-t^{2})}: \frac{t^{2}}{(1-t)}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{t^{3}}{(1-t^{2})}\cdot\frac{(1-t)}{t^{2}}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{t}{1+t}\right)=\frac{1}{2}$$ $$b=\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{t^{3}}{1-t^{2}}-\frac{t^{2}}{2(1-t)}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{2t^{3}-t^{2}(1+t)}{2(1-t^{2})}\right)=$$ $$\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{-t^{2}(1-t)}{2(1-t^{2})}\right)\sim$$ $$\lim_{t\rightarrow 1}\left(\frac{-t^{2}}{2(1+t)}\right)=-\frac{1}{4}$$