Явное задание

Найти асимп­тоты графика функции $$\:$$ $$y=\sqrt{\frac{x^{3}}{x-2}}=\;$$ $$\left | x \right |\cdot \sqrt{\frac{x}{x-2}}$$
Функция опре­де­лена на множестве $$( -\infty,\:0 ]\cup \left ( 2,\:+\infty \right )$$. Функция имеет верти­кальную асимп­тоту $$$$ $$x=2$$, $$$$ т.к. $$\lim_{\;x\rightarrow 2+}y(x)=\infty$$. Функция не имеет верти­кальную асимп­тоту $$$$ $$x=0$$, $$$$ т.к. $$\lim_{\;x\rightarrow 0-}y(x)=0$$. Проверим наличие наклонных асимптот:

1. $$$$ При $$\;$$ $$x\rightarrow +\infty$$: $$\;$$ $$k\:=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{y(x)}{x}=\;$$ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{x}{x-2}}=1$$,

$$b=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( y(x) - kx \right )=\;$$ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}x\cdot \left ( \sqrt{\frac{x}{x-2}} - 1 \right )=1$$

2. $$$$ При $$\;$$ $$x\rightarrow -\infty$$: $$\;$$ $$k\:=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{y(x)}{x}=\;$$ $$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left ( - \sqrt{\frac{x}{x-2}} \right )=-1$$,

$$b=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left ( y(x) - kx \right )=\;$$ $$\lim_{x\rightarrow -\infty}x\cdot \left ( - \sqrt{\frac{x}{x-2}} + 1 \right )=-1$$

Ответ: $$$$ Верти­кальная асимп­тота $$$$ $$x=2$$, $$$$ наклонные асимп­тоты $$$$ $$y=x+1\;$$ при $$$$ $$x\rightarrow +\infty\;$$ и $$\:$$ $$y=-x-1\;$$ при $$$$ $$x\rightarrow -\infty$$.